Bài toán hóc búa của thầy giáo Việt Nam trong đề thi Olympic: Độ khó khiến nhiều nước muốn loại bỏ

Olympic Toán quốc tế (IMO) là một cuộc thi toán học nổi tiếng dành cho học sinh trung học phổ thông trên toàn thế giới. Việt Nam đã tham dự cuộc thi này từ năm 1974 và đã đạt những thành tích đáng nể khi luôn lọt  top thế giới qua các năm dự thi.

Đáng nói, trong lịch sử kỳ thi IMO đã có 3 bài toán từ phía đoàn Việt Nam vào đề thi đó là bài của  PGS Phan Đức Chính (IMO 1977), PGS Văn Như Cương (IMO 1982), TS. Nguyễn Minh Đức (IMO 1987).

Trong đó, đề toán của PGS Văn Như Cương từng được đánh giá là vô cùng hóc búa khiến các nước khác muốn loại khỏi đề thi chính thức.

Theo đó, kỳ thi Olympic Toán quốc tế (IMO) năm 1982 được tổ chức tại Budapest (Hungary). Đoàn dự thi của Việt Nam đã đóng góp một đề toán hình học của thầy  Văn Như Cương trong đó có sự góp ý của 2 người thầy dạy toán nữa là GS Hoàng Xuân Sinh và GS Đoàn Quỳnh.

Đáng nói, đây chính là bài toán khó nhất của kỳ thi năm đó và thậm chí còn suýt bị loại bỏ bởi chính độ khó của nó.

Cụ thể, theo chia sẻ của GS Trần Văn Nhung thì bài toán của thầy Cương vô cùng độc đáo và khó. Độ khó của bài toán này khiến nhiều nước muốn loại ra khỏi 6 bài của đề thi chính thức. Tuy nhiên, viện sĩ người Hungary R. Alfred là Chủ tịch IMO năm đó đã khen đề thi rất hay và quyết định giữ lại bài toán mà thầy Văn Như Cương đóng góp. Tuy nhiên, để bài toán dễ làm hơn, bài toán này đã được sửa điều kiện trong bài thi chính thức.

Bài toán gốc mà thầy Văn Như Cương đã đóng góp cho IMO 1982 như sau: 

“Ngày xưa (ở xứ Nghệ) có một ngôi làng hình vuông mỗi cạnh 100km. Có một con sông chạy ngang quanh làng. Bất cứ điểm nào trong làng cũng cách con sông không quá 0,5 km.

Chứng minh rằng có 2 điểm trên sông có khoảng cách đường chim bay không quá 1 km, nhưng khoảng cách dọc theo dòng sông không ít hơn 198 km.

(Ta giả sử con sông có bề rộng không đáng kể).”

Sau đó, bài toán này đã được chỉnh sửa và đưa vào đề thi chính thức trong đề toán IMO 1982 (là câu số 6):

“Cho S là hình vuông với cạnh là 100, và L là đường gấp khúc không tự cắt tạo thành từ các đoạn thẳng A0A1, A1A2…,An-1An với A0#An. Giả sử với mỗi điểm P trên biên của S đều có một điểm thuộc L cách P không quá ½. Hãy chứng minh: Tồn tại 2 điểm X và Y thuộc L sao cho khoảng cách giữa X và Y không vượt qúa 1, và độ dài phần đường gấp khúc L nằm giữa X và Y không nhỏ hơn 198.” (sau khi đã dịch sang tiếng Việt).

Theo đó, đề thi chính thức đã thay đổi điều kiện từ "Bất cứ điểm nào trong làng cũng cách con sông không quá 0,5 km" thành "Bất cứ điểm nào nằm trên chu vi làng cũng cách con sông không quá 0,5 km".

Bài toán của thầy Văn Như Cương có điểm đặc biệt là lần đầu tiên một bài IMO sử dụng đến kiến thức topo (kiến thức sơ đẳng: Nếu đoạn thẳng [0,1] là hợp của 2 tập đóng không rỗng thì 2 tập này có điểm chung).

Trong kỳ thi IMO 1982 chỉ có 20 thí sinh trên toàn thế giới giải được bài toán của thầy Văn Như Cương. Trong đó có thí sinh  Lê Tự Quốc Thắng của Việt Nam, anh cũng đạt HCV với số điểm tuyệt đối 42/42, góp phần giúp đoàn Việt Nam xếp 5/30 quốc gia tham dự kỳ thi năm đó.